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2008年全国中考数学压轴题精选精析（五）

50.（08云南双柏）25．（本小题（1）～（3）问共12分；第（4）、（5）问为附加题10分，每小题5分，附加题得分可以记入总分，若记入总分后超过120分，则按120分记）

已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）求△ABC的面积；

（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF‖AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

（08云南双柏25题解析）25．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）

又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）

∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）

（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得

0＝36a－6b＋80＝4a＋2b＋8 解得a＝－23b＝－83

∴所求抛物线的表达式为y＝－23x2－83x＋8

（3）∵AB＝8，OC＝8

∴S△ABC ＝12×8×8=32

（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10

∵EF‖AC ∴△BEF∽△BAC

∴EFAC＝BEAB 即EF10＝8－m8 ∴EF＝40－5m4

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝45

∴FGEF＝45 ∴FG＝45?40－5m4＝8－m

∴S＝S△BCE－S△BFE＝12（8－m）×8－12（8－m）（8－m）

＝12（8－m）（8－8＋m）＝12（8－m）m＝－12m2＋4m

自变量m的取值范围是0＜m＜8

（5）存在． 理由：

∵S＝－12m2＋4m＝－12（m－4）2＋8 且－12＜0，

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8

∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）

∴△BCE为等腰三角形．

51.（08重庆市卷）（本题答案暂缺）28、（10分）已知：如图，抛物线 与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE‖AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）若平行于x轴的动直线 与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线 ，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

52（08浙江湖州）24．（本小题12分）

已知：在矩形 中， ， ．分别以 所在直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 是边 上的一个动点（不与 重合），过 点的反比例函数 的图象与 边交于点 ．

（1）求证： 与 的面积相等；

（2）记 ，求当 为何值时， 有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点 ，使得将 沿 对折后， 点恰好落在 上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

（08浙江湖州24题解析）24．（本小题12分）

（1）证明：设 ， ， 与 的面积分别为 ， ，

由题意得 ， ．

， ．

，即 与 的面积相等．

（2）由题意知： 两点坐标分别为 ， ，

，

．

当 时， 有最大值．

．

（3）解：设存在这样的点 ，将 沿 对折后， 点恰好落在 边上的 点，过点 作 ，垂足为 ．

由题意得： ， ， ，

， ．

又 ，

．

， ，

．

， ，解得 ．

．

存在符合条件的点 ，它的坐标为 ．

53.（08浙江淮安）（本题答案暂缺）28．(本小题14分)

如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D.

(1)写出点P的坐标；

(2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；

(3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．

54.（08浙江嘉兴）24．如图，直角坐标系中，已知两点 ，点 在第一象限且 为正三角形， 的外接圆交 轴的正半轴于点 ，过点 的圆的切线交 轴于点 ．

（1）求 两点的坐标；

（2）求直线 的函数解析式；

（3）设 分别是线段 上的两个动点，且 平分四边形 的周长．

试探究： 的最大面积？

（08浙江嘉兴24题解析）24．（1） ， ．

作 于 ，

为正三角形，

， ．

．

连 ， ， ，

．

．

（2） ， 是圆的直径，

又 是圆的切线， ．

， ．

．

设直线 的函数解析式为 ，

则 ，解得 ．

直线 的函数解析式为 ．

（3） ， ， ， ，

四边形 的周长 ．

设 ， 的面积为 ，

则 ， ．

．

当 时， ．

点 分别在线段 上，

，解得 ．

满足 ，

的最大面积为 ．

55（08浙江金华）（本题答案暂缺）24. (本题12分) 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD。（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（ ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于 ，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

56（08浙江丽水）24．如图，在平面直角坐标系中，已知点 坐标为（2，4），直线 与 轴相交于点 ，连结 ，抛物线 从点 沿 方向平移，与直线 交于点 ，顶点 到 点时停止移动．

（1）求线段 所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点 的横坐标为 ,

①用 的代数式表示点 的坐标；

②当 为何值时，线段 最短；

（3）当线段 最短时，相应的抛物线上是否存在点 ，使△

的面积与△ 的面积相等，若存在，请求出点 的坐标；若

不存在，请说明理由．

（08浙江丽水24题解析）24．（本题14分）

解：（1）设 所在直线的函数解析式为 ，

∵ （2，4），

∴ , ,

∴ 所在直线的函数解析式为 .…………………………………（3分）

（2）①∵顶点M的横坐标为 ，且在线段 上移动，

∴ （0≤ ≤2）.

∴顶点 的坐标为( , ).

∴抛物线函数解析式为 .

∴当 时， （0≤ ≤2）.

∴点 的坐标是（2， ）.…………………………………（3分）

② ∵ = = ， 又∵0≤ ≤2，

∴当 时，PB最短. ……………………………………………（3分）

（3）当线段 最短时，此时抛物线的解析式为 .……………（1分）

假设在抛物线上存在点 ，使 .

设点 的坐标为（ ， ）.

①当点 落在直线 的下方时，过 作直线 // ，交 轴于点 ，

∵ ， ，

∴ ，∴ ，∴ 点的坐标是（0， ）.

∵点 的坐标是（2，3），∴直线 的函数解析式为 .

∵ ，∴点 落在直线 上.

∴ = .

解得 ，即点 （2，3）.

∴点 与点 重合.

∴此时抛物线上不存在点 ，使△ 与

△ 的面积相等.………………………（2分）

②当点 落在直线 的上方时，

作点 关于点 的对称称点 ，过 作直线 // ，交 轴于点 ，

∵ ，∴ ，∴ 、 的坐标分别是（0，1），（2，5），

∴直线 函数解析式为 .

∵ ，∴点 落在直线 上.

∴ = .

解得： ， .

代入 ，得 ， .

∴此时抛物线上存在点 ，

使△ 与△ 的面积相等. …………………………………（2分）

综上所述，抛物线上存在点 ，

使△ 与△ 的面积相等.

57（08浙江衢州）24、(本题14分)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8， )，C(0， )，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。

（08浙江衢州24题解析）24、(本题14分)

解：(1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8， )，

∴ ，

∴

当点A?在线段AB上时，∵ ，TA=TA?，

∴△A?TA是等边三角形，且 ，

∴ ， ，

∴ ，

当A?与B重合时，AT=AB= ，

所以此时 。

(2)当点A?在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，

纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA?与CB的交点)，

当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)

又由(1)中求得当A?与B重合时，T的坐标是(6，0)

所以当纸片重叠部分的图形是四边形时， 。

(3)S存在最大值

○1当 时， ，

在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，

∴当t=6时，S的值最大是 。

○2当 时，由图○1，重叠部分的面积

∵△A?EB的高是 ，

∴

当t=2时，S的值最大是 ；

○3当 ，即当点A?和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA?与CB的交点，F是TP与CB的交点)，

∵ ，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，

∴

综上所述，S的最大值是 ，此时t的值是 。

58（08浙江绍兴）24．将一矩形纸片 放在平面直角坐标系中， ， ， ．动点 从点 出发以每秒1个单位长的速度沿 向终点 运动，运动 秒时，动点 从点 出发以相等的速度沿 向终点 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点 的运动时间为 （秒）．

（1）用含 的代数式表示 ；

（2）当 时，如图1，将 沿 翻折，点 恰好落在 边上的点 处，求点 的坐标；

（3）连结 ，将 沿 翻折，得到 ，如图2．问： 与 能否平行？ 与 能否垂直？若能，求出相应的 值；若不能，说明理由．

（08浙江绍兴24题解析）24．（本题满分14分）

解：（1） ， ．

（2）当 时，过 点作 ，交 于 ，如图1，

则 ， ，

， ．

（3）① 能与 平行．

若 ，如图2，则 ，

即 ， ，而 ，

．

② 不能与 垂直．

若 ，延长 交 于 ，如图3，

则 ．

．

．

又 ， ，

，

，而 ，

不存在．

59.（08浙江宿迁）27．（本题满分12分）

如图，⊙ 的半径为 ，正方形 顶点 坐标为 ，顶点 在⊙ 上运动．

(1)当点 运动到与点 、 在同一条直线上时,试证明直线 与⊙ 相切；

(2)当直线 与⊙ 相切时，求 所在直线对应的函数关系式；

(3)设点 的横坐标为 ，正方形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并求出 的最大值与最小值．

（08浙江宿迁24题解析）24．如图，在矩形 中， ， ，点 是边 上的动点（点 不与点 ，点 重合），过点 作直线 ，交 边于 点，再把 沿着动直线 对折，点 的对应点是 点，设 的长度为 ， 与矩形 重叠部分的面积为 ．

（1）求 的度数；

（2）当 取何值时，点 落在矩形 的 边上？

（3）①求 与 之间的函数关系式；

②当 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 ？

60（08浙江温州）24．（本题14分）

如图，在 中， ， ， ， 分别是边 的中点，点 从点 出发沿 方向运动，过点 作 于 ，过点 作 交 于

，当点 与点 重合时，点 停止运动．设 ， ．

（1）求点 到 的距离 的长；

（2）求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由．

（08浙江温州24题解析）24． （本题14分）

解：（1） ， ， ， ．

点 为 中点， ．

， ．

，

， ．

（2） ， ．

， ，

， ，

即 关于 的函数关系式为： ．

（3）存在，分三种情况：

①当 时，过点 作 于 ，则 ．

， ，

．

， ，

， ．

②当 时， ，

．

③当 时，则 为 中垂线上的点，

于是点 为 的中点，

．

，

， ．

综上所述，当 为 或6或 时， 为等腰三角形．

61.（08浙江义乌）（本题答案暂缺）24.如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与 轴负半轴上.过点B、C作直线 ．将直线 平移，平移后的直线 与 轴交于点D，与 轴交于点E．

（1）将直线 向右平移，设平移距离CD为 (t 0)，直角梯形OABC被直线 扫过的面积（图中阴影部份）为 ， 关于 的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；

②当 时，求S关于 的函数解析式；

（2）在第（1）题的条件下，当直线 向左或向右平移时（包括 与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使 为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．