2013北京高考数学(初探高考数学试卷中的“五种基本能力”)

在各地高考数学说明（或考试大纲）中都提到了以下五大基本能力：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力。尽管这五大基本能力老生常谈，关于五大基本能力的培养更是仁者见仁，智者见智，但这五大基本能力在高考数学试卷中的具体体现却鲜有人提，而这五大基本能力却实实在在地体现在高考试卷中，并得到了不断的发展，其经典之处经久不衰，创新之处令人眼前一亮。现就这五大基本能力，结合历年的高考试卷进行一一探析。

　一、空间想象能力

　1.平面图形与立体图形的相互转化

　空间想象能力的考查要求能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图想象出空间图形。这就要求学生具有化抽象为具体的能力，能够站在空间的角度研究点、线、面；要能够根据条件在脑海中构建出相应几何图形，把抽象的语言、条件直观化、图形化，将平面的图形构建成空间图形则是其中的一种。2010年山东高考理科卷选择题第3题，考查的是空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，本题属于基础题，由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。2010年陕西高考理科卷第7题是三视图问题，不仅要求考生能够构建相应的立体图形，还要求出立体图形体积。

　在历年的高考试卷中，三视图、平面展开图等图形转化问题备受欢迎，原因在于此类问题能够很好地检测出学生的空间想象能力，而且难度系数不大，属于基础题。

　2.立体图形中的基本元素及基本平面图形

　对于空间图形，要能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解与组合。这是空间想象能力中的另一要求，不仅要求认识图形，还要能够对具体的图形进行解剖，找出其中的关键点、线、面等，要能够通过条件判断出它们之间的关系。不仅如此，还要能够将图形进行肢解，找出“基本图形”。例如，在复杂的、陌生的图形中找出“垂直、平行，三棱锥、三棱柱、正方体等”。在以往的立体几何考查试题中，我们发现，立体几何题中的第一问通常考察垂直、平行，这已经成为一种定势，目的是“将分送到考生的手上”，但第二问就有一定的变化，可以考查角、体积、表面积，也可以考察点到面的距离，如2010年江苏卷高考立体几何题、2008年北京高考理科卷第16题、2010年山东高考理科卷解答题第19题等都是常规的立体几何题，大多是求面面、线面垂直平行，接着是求夹角类问题（近年江苏卷对立体几何中的夹角问题逐步降低了要求，很少出现在高考卷中），最后是面积、体积、距离等问题，一道立体几何题几乎覆盖教材中的所有需要掌握的知识点。证明题中线面、面面垂直平行的证法是平时挂在嘴边的几个“?圯”；求夹角所用的方法大多是构建平面三角形，并解三角形等方法；载体图形大多是常见的正方体、锥体、柱体等。尽管高考立体几何题似曾相识，但考生需要在短时间内快速分析立体图形中的基本元素，并结合立体几何基本性质解决问题。

　在高考中，立体几何也经常出现一些新的题型，将立体几何与其他知识结合，如将立体几何与函数、概率、复数等新课程实施后新加的内容相组合。只要基础扎实，认清本质，这类创新型题难度不是很大。如：

　例1（2008年北京高考理科卷第8题）如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图像大致是（ ）

　该题便是一道创新型立体几何题，它将函数图像与立体几何相结合，从立体图形中点的移动，来判断两线段长度变化情况，并选择合适的函数图像，考生需要有一定的空间想象能力，能够在大脑里动态地看立体几何的运动状态，该题答案为B。此类创新型题型在以后的高考中还将不断出现。

　二、抽象概括能力

　1.问题本质的探究

　抽象概括能力是对实例的探索，要能够发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断。抽象概括能力可以归纳为两点：一是发现本质，二是作出判断，进而解决问题。发现本质是要求学生能够从给定的问题中发现其中会运用到的规律及相应的定理等，并准确地判断出问题的实质。这类能力需要在平时的练习中不断总结，不断归纳，形成一定的挖掘信息材料的能力。例如，2010年江苏高考卷的质，大胆往下走，题目怎么说就怎么做。另外，在很多问题中会出现各种各样的递推关系，看似很陌生的东西中蕴含大家所熟悉的知识或方法，这需要学生具有从一般的信息问题中概括出基本规律，并作出基本判断，从中寻找解决问题的方法，进而解决问题。

　2.挖掘信息中的本质，并解决实际问题

　《普通高中数学课程标准》提出：力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。挖掘信息中的本质则成了解决实际问题的先导，只有发现了问题的本质才能选择合适的数学工具进行解决问题，在历年的高考试题中都有此类问题的出现。如：

　例2（2010年江苏高考卷第17题）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

　（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值。

　（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大。

　本题巧妙地将三角函数与实际的测量问题相结合，考生需要从题中发现三角函数是该问题的本质，并作出判断，构建相应的三角形，进而选择三角函数中的正切来解决实际问题。此题较好地体现了新课改中“发展学生的数学应用意识”的要求。

　三、推理论证能力

　推理论证能力要求能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性。这种能力是几乎在每一道数学题中都能用到，只是由于试题的简单或者常见，大家没注意总结其思维方法罢了。然而，这种能力在开放式试题中体现得淋漓尽致。开放式问题不告诉你结论，只告诉你猜想，要你判断该命题成立与否，成立要求证明，不成立要求给出充分的理由，这就需要你通过已学的知识或者已知的结论来论证该问题是否成立。开放式题型一直是高考的热点，近年来，各地的高考试卷中都出现了此类题型。之所以热衷于此类题型，是因为它能够很好地考查学生的思维能力，从而把学生有所区分，达到选拔人才的目的。江苏卷前几年热衷于所谓开放式题型，但近两年已有所变化，不是单纯地开放，而是要求考生能够学会猜想和发掘。

　例如2009年江苏卷的压轴题的第3问为：设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接写出（不需给出演算步骤）不等式h（x）≥1的解集。该问要求直接写出“解集，不要求给出演算步骤”，看似只要能够“猜对”就行，但凭空瞎猜肯定不可能得到答案，这就需要严格的推理和论证，只有建立在严密推理的基础之上的猜想才有可能“猜”正确。另外，2004年全国理科卷的数列问题对推理论证能力也有较高的要求。

　四、运算求解能力

　运算求解能力的要求是能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算。运算求解能力提出了三点要求：一是会运算、变形，二是能设计合理的运算途径，三是数据估计与近似。

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 1.基本运算与变形

　运算、变形是数学的最基本的能力，但运算变形的要求则较高，一道试题的运算出现差错、运算时间过长或者变形出现偏差，则会导致不必要的失分或者浪费宝贵的考试时间，因此对于运算变形能力要求准确、快速、合理。每份高考数学试卷都会对基本运算和变形提出要求，甚至有专门的题型来体现运算能力，此类题的难度不是很大，主要考察考生的基本运算和变形能力。

　2.最优运算途径的设计

　运算途径的选择是近几年高考的另一热点，这就是经常提到的一题多解。高考数学试卷中的部分试题都是可以通过多种方法解决，但在这些方法当中有一种或两种是最优的，能够快速准确地解决问题。而其他方法虽然也能够解决问题，但运算量可能偏大，过程偏繁。这就需要考生能够设计出合理的运算途径来解决。

　例如2009年江苏高考试卷中的第19题，运算、变形方法较多，但各种方法的效率却大相径庭，运算途径的选择决定了计算量、决定了解题速度。

　3.数据的估计与近似计算

　对数据估计与近似计算是新课程实施后另一大应用性较强的知识点，在一些地方的高考试卷中已有所体现，如近年来的陕西卷。江苏《2011年高考说明》中明确地指出“对数据的估计与近似处理”，这说明有关“估计”的内容有可能是以后高考中另一热点，我们在平时的训练中应当特别重视。

　五、数据处理能力

　数据处理能力要求运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题。在以往的高考试卷中也有利用统计的方法解决实际问题，但一直忽略“实际”二字，停留在人为的“实际”层面，如2009年江苏卷的第6题，2010年江苏卷的第4题。在统计概率这一章节中，往年考查随机事件、古典概型、几何概型等方面偏多，今后有可能在数学期望、总体分布估计、总体特征数等方面有所侧重，因为统计的知识在日常生活中运用比较广泛，能够与生活相关联，而且在统计概率方面，总体特征数的估计已有一定要求，与古典概型处于同一要求。另外，高等数学与这些知识关联较大，备受高校欢迎。如2008年陕西高考理科卷第18题，除考查基本的概率问题外，还专门考察大学里应用较多的分布列及数学期望问题。因此，平时的训练要多留意这方面的知识，注重基本方法与思维过程。

　数据处理能力未来的发展方向是不断联系生活，将生活中常见的各种统计类问题整理成数学问题，如经常听说的消费者物价指数CPI、PPI、通货膨胀等问题，不排除将此类关系民生的问题纳入以后的高考数学试卷。这就要求考生要关注时事，又要能通过数据的分析、整理进而对当前的某一现实状况作出判断。统计章节是中学数学中最“实用”的章节，能够很好地体现《普通高中数学课程标准》中的“发展学生的数学应用意识”，因此，高考中不会放弃这一“有用”的章节。

　在高考数学试卷中，五种能力是相互交融，相互支撑，靠一味的模仿、看题是不能提高五大基本能力的，正如罗增儒教授所说，解决高考题的探求不是“规则的简单重复”和“操作的生硬执行”，而是需要深入地理解基本概念、定理，并对基本方法不断熟练。因此，在平时的训练中，我们应当通过解题锻炼思维，这样才能提高自己的五大基本能力。

　参考文献

　[1] 罗增儒.2010年高考数学陕西卷理科第20题剖析（续）.中学数学教学参考（上旬），2010（9）.

　[2]江苏省教育考试院制订.2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）说明.南京：江苏教育出版社，2010.

　[3] 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2003.

　（责任编辑刘永庆）

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