2011高考数学题(2011辽宁高考数学)

(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．

∴AD=AQ，∠QAD=90°

过Q作QE⊥PD交PD于E

平面PQC⊥平面DCQ；

∴E为PD中点==>QD=QP，QD⊥QP

易知CD⊥面AQPD==>CD⊥PQ

∴PQ⊥面CDQ

∴面PQC⊥面CDQ

(2)解析：设ABCD边长为1

易知BC⊥面PCD==>BC⊥PC

∴BC=CD=1，PD=2==>PC=√5==>PB=√6

过C作CF⊥PB交PB于F，过Q作QG⊥PB交PB于G，过F作HF//QG交QB于H,连接HC

∴∠CFH为二面角Q-BP-C的平面角

BC^2=BF*BP==>1=BF*√6==>BF=√6/6==>CF=√(BC^2-BF^2)=√30/6

易知BQ=DQ=PQ=√2

∴G为PB中点

QG=√(BQ^2-BG^2)=√2/2

⊿BFH∽⊿BGQ==>BF/BG=FH/QG=BH/BQ

∴HF=√2/6，BH=√2/3

∵BC⊥BQ

∴CH=√(BC^2+BH^2)=√11/3

由余弦定理HC^2=FC^2+FH^2-2*FC*HF*cos∠CFH

11/9=5/6+1/18-2*√30/6*√2/6*cos∠CFH

cos∠CFH=-√15/5

∴二面角Q—BP—C的余弦值为-√15/5．