全国高考二卷答案(求09年数学全国二卷答案)

2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）

一选择题：

1. A.

2. B.

3. D.

4.B.

5.C

6. C

7.A.

8. D

9. D

10. C

11. A

12.B

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

13. 6

14. 9 .

15. 8

16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17（本小题满分10分）

设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ， ，求 。

分析：由 ，易想到先将 代入 得 。然后利用两角和与差的余弦公式展开得 ；又由 ，利用正弦定理进行边角互化，得 ，进而得 .故 。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当 时，由 ，进而得 ，矛盾，应舍去。

也可利用若 则 从而舍去 。不过这种方法学生不易想到。

评析：本小题考生得分易，但得满分难。

18（本小题满分12分）

如图，直三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点， 平面

（I）证明：

（II）设二面角 为60°，求 与平面 所成的角的大小。

（I）分析一：连结BE， 为直三棱柱，

为 的中点， 。又 平面 ，

（射影相等的两条斜线段相等）而 平面 ，

（相等的斜线段的射影相等）。

分析二：取 的中点 ，证四边形 为平行四边形，进而证 ∥ ， ，得 也可。

分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。

（II）分析一：求 与平面 所成的线面角，只需求点 到面 的距离即可。

作 于 ，连 ，则 ， 为二面角 的平面角， .不妨设 ，则 .在 中，由 ，易得 .

设点 到面 的距离为 ， 与平面 所成的角为 。利用 ，可求得 ，又可求得

即 与平面 所成的角为

分析二：作出 与平面 所成的角再行求解。如图可证得 ，所以面 。由分析一易知：四边形 为正方形，连 ，并设交点为 ，则 ， 为 在面 内的射影。 。以下略。

分析三：利用空间向量的方法求出面 的法向量 ，则 与平面 所成的角即为 与法向量 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。

19（本小题满分12分）

设数列 的前 项和为 已知

（I）设 ，证明数列 是等比数列

（II）求数列 的通项公式。

解：（I）由 及 ，有

由 ，．．．①则当 时，有 ．．．．．②

②－①得

又 ， 是首项 ，公比为2的等比数列．

（II）由（I）可得 ，

　 数列 是首项为 ，公差为 的等比数列．

　 ，

评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 ．

第（II）问中由（I）易得 ，这个递推式明显是一个构造新数列的模型： ，主要的处理手段是两边除以 ．

总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

20（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（III）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。

分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。

（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率

（III） 的可能取值为0，1，2，3

， ，

，

分布列及期望略。

评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算 时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的直线 与 相交于 、 两点，当 的斜率为1时，坐标原点 到 的距离为

（I）求 ， 的值；

（II） 上是否存在点P，使得当 绕F转到某一位置时，有 成立？

若存在，求出所有的P的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。

解:(I）设 ，直线 ，由坐标原点 到 的距离为

则 ，解得 .又 .

（II）由(I）知椭圆的方程为 .设 、

由题意知 的斜率为一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得 ，显然 。

由韦达定理有： ．．．．．．．．①

.假设存在点P，使 成立，则其充要条件为：

点 ，点P在椭圆上，即 。

整理得 。

又 在椭圆上，即 .

故 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将 及①代入②解得

, = ,即 .

当 ;

当 .

评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。

22.(本小题满分12分)

设函数 有两个极值点 ，且

（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；

（II）证明：

解: （I）

令 ，其对称轴为 。由题意知 是方程 的两个均大于 的不相等的实根，其充要条件为 ，得

⑴当 时， 在 内为增函数；

⑵当 时， 在 内为减函数；

⑶当 时， 在 内为增函数；

（II）由（I） ，

设 ，

则

⑴当 时， 在 单调递增；

⑵当 时， ， 在 单调递减。

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